Poisson-Klammer

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Die Poisson-Klammer, benannt nach Siméon Denis Poisson, ist ein bilinearer Differentialoperator in der kanonischen (hamiltonschen) Mechanik. Sie ist ein Beispiel für eine Lie-Klammer, also für eine Multiplikation in einer Lie-Algebra.

Die Poisson-Klammer ist definiert als

mit

Allgemein kann die Poisson-Klammer auch für Funktionen und definiert werden, die nicht von generalisierten Koordinaten und kanonischen Impulsen abhängen. Zur Verdeutlichung, auf welche Variablen sich die Poisson-Klammer beziehen soll, werden diese als Indizes an die Klammer geschrieben:

.
, insbesondere
Physikalisch liegt es nahe, anzunehmen, dass die Zeitentwicklung einer Eigenschaft eines Systems nicht von den verwendeten Koordinaten abhängen sollte; damit sollten auch die Poisson-Klammern unabhängig von den verwendeten kanonischen Koordinaten sein. Seien und zwei verschiedene Sätze von Koordinaten, die durch kanonische Transformationen transformiert werden, so gilt:
.
Der Beweis ist länglich, sodass wir ihn hier auslassen.

Fundamentale Poisson-Klammern

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Für die kanonische Mechanik wichtig sind die fundamentalen Poisson-Klammern

(Kronecker-Delta)

Sie folgen aus den trivialen Beziehungen

.
  • In der Quantenmechanik wird im Rahmen der kanonischen Quantisierung die Poisson-Klammer ersetzt durch mal den Kommutator:[1]
Außerdem werden Observablen durch Operatoren dargestellt. Die oben angeführte Gleichung der Zeitevolution einer Observablen führt so auf die Zeitevolution von Operatoren eines quantenmechanischen Systems mit Hamiltonoperator im Heisenberg-Bild. Diese Bewegungsgleichung heißt Heisenbergsche Bewegungsgleichung. Die Liouville-Gleichung findet ihre Entsprechung dabei in der Von-Neumann’schen Bewegungsgleichung.
  • Sowohl die Phasenraumfunktionen der kanonischen Mechanik als auch die Operatoren der Quantenmechanik bilden mit ihren Klammern jeweils eine Lie-Algebra.
  • Allgemein definiert man auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit mit symplektischer Form, die in lokalen Koordinaten gegeben ist durch , die Poisson-Klammer der Funktionen und durch:
  • Koordinatenunabhängig lässt sich die Poisson-Klammer wie folgt darstellen: es sei der durch beschriebene Isomorphismus. Weiter sei für eine Funktion das Vektorfeld definiert als . Damit gilt dann

Einzelnachweise

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  1. Hong-Tao Zhang: A Simple Method of Calculating Commutators in Hamilton System with Mathematica Software, arxiv:quant-ph/0204081